El Método Simplex publicado por George Dantzig en 1947 consiste en un algoritmo iterativo que secuencialmente a través de iteraciones se va aproximando al óptimo del problema de Programación Lineal en caso de existir esta última.

La primera implementación computacional del Método Simplex es el ano 1952 para un problema de 71 variables y 48 ecuaciones. Su resolución tarda 18 horas. Luego, en 1956, un código llamado RSLP1, implementado en un IBM con 4Kb en RAM, admite la resolución de modelos con 255 restricciones.

El Método Simplex hace uso de la propiedad de que la solución óptima de un problema de Programación Lineal se encuentra en un vértice o frontera del dominio de puntos factibles (esto último en casos muy especiales), por lo cual, la búsqueda secuencial del algoritmo se basa en la evaluación progresiva de estos vértices hasta encontrar el óptimo. Cabe destacar que para aplicar el Método Simplex a un modelo lineal, este debe estar en un formato especial conocido como formato estándar el cual definiremos a continuación.

FORMA ESTÁNDAR DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Consideremos un modelo de Programación Lineal en su forma estandar, que denotaremos en lo que sigue por:

Min          c1x1  + c2x2  + ... + cnxn

sa            a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

                a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

                ...          ...                  ...

                am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

                xi >=  0,   i = 1, 2, ..., n    y    m <= n

Matricialmente escrito como:

Min    cTx
s.a      Ax = b
           x >=  0

No existe pérdida de generalidad en asumir que un modelo de PL viene dado en su forma estándar:

EJEMPLO

P)            Max        9u + 2v + 5z

                sa            4u + 3v + 6z <=  50

                                u + 2v - 3z >=  8

                               2u - 4v + z = 5

                               u,v >=  0

                               z e IR

Siempre es posible llevar un problema de maximización a uno de minimización. Si f(x) es la función objetivo a maximizar y x* es la solución óptima f(x*) >= f(x), para todo x factible. -f(x*) <= - f(x), para todo x factible. En consecuencia:  x* es también mínimo de  -f(x)

Cada restricción del tipo <= puede ser llevada a una ecuación de igualdad usando una (nueva) variable deholgura no negativa, con coeficiente nulo en la función objetivo.

Cada restricción del tipo >= puede ser llevada a una ecuación de igualdad usando una (nueva) variable de excesono negativa, con coeficiente nulo en la función objetivo.

Siempre es posible escribir una variable libre de signo como la diferencia de dos variables no negativas.

Considerando la siguiente notación: u = x1, v = x2, z = x3 - x4, s1 = x5 (holgura), s2 = x6 (exceso), el problema P) puede ser escrito en forma equivalente como:

Min         - 9x1 - 2x2 - 5x3 + 5x4 + 0x5 + 0x6

sa:              4x1 + 3x2 + 6x3 - 6x4 +    x5          = 50

                     x1 + 2x2 - 3x3 + 3x4             - x6  =  8

                   2x1 - 4x2 +  x3   -   x4                     =  5

                   xi >=  0,    i=1,2,3,4,5,6.  

Un video de ejemplo de uso del método simplex.