Ejercicio de teoría de lineas.

Teoría de lineas

¿QUÉ ES LA TEORÍA DE COLAS O DE LÍNEAS DE ESPERA?

La teoría de colas es el estudio de los sistemas de líneas de espera en sus distintas modalidades. El estudio de estos modelos sirve para determinar la forma más efectiva de gestionar un sistema de colas.

La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta cuando los clientes llegan a un lugar demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.

¿PARA QUÉ SIRVE LA TEORÍA DE COLAS?

El estudio de las colas nos sirve para proporcionar tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio de clientes

Aplicaciones de la teoría de colas:

• Facturación en aeropuertos.
• Cajeros automáticos.
• Restaurantes de comida rápida.
• Esperas en líneas de atención telefónica.
• Intersecciones de tráfico.
• Aviones en espera para aterrizar.
• Llamadas a la policía o a compañías de servicios públicos.
• Estándares de calidad del servicio.
• Análisis económicos que incluyan comparaciones entre costes de explotación, inversiones de capital.

OBJETIVOS DE LA TEORÍA DE COLAS

• Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.
• Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.
• Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.
• Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA TEORÍA DE COLAS

Ventajas

• Los modelos de colas implican siempre aproximaciones a la realidad y una simplificación de ésta.
• Los resultados permiten apreciar el orden de importancia, los cambios con relación a un punto de referencia y las tendencias más probables.
• Resultados “cerrados” limitados casi siempre a situaciones de “estado estacionario” y obtenidos sobre todo (aunque no exclusivamente) para su aplicación a sistemas de nacimiento y muerte y de “fase”.
• Proporciona algunas cotas útiles para sistemas más generales en estado estacionario.
• Cada vez hay más soluciones numéricas disponibles para sistemas dinámicos.

Desventajas

• Los modelos de simulación en una computadora son costosos y requieren mucho tiempo para desarrollarse y validarse.
• Se requiere gran cantidad de corridas computacionales para encontrar “soluciones óptimas”, lo cual repercute en altos costos.
• Es difícil aceptar los modelos de simulación.
• Los modelos de simulación no dan soluciones óptimas
• La solución de un modelo de simulación puede dar al analista un falso sentido de seguridad.

CONCEPTOS BÁSICOS

Un ejemplo de cola es cuando se va a comprar un boleto para viajar, si existen pocas personas para ser atendidas será una cola pequeña, sin embargo, si hay un gran número de personas esperando ser atendidas será una cola muy grande, el número de servidores dependerá de cuantas personas están atendiendo y el cliente será la persona que quiere comprar el boleto el número de servidores podrá ser de uno hasta infinito.

Un sistema de colas se justifica por seis características principales:

• El tiempo de distribución de entradas o llegadas.
• El tipo de distribución de salidas o retiros.
• Los canales de servicio.
• La disciplina del servicio.
• El número máximo de clientes permitidos en el sistema.
• La fuente o población.

ELEMENTOS DE UN MODELO DE COLAS

Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Se considera finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aun siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio.

Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0<t1<t2<…, será importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes.

Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma.

Disciplina de la cola: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son:

La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.

La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.

La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria.

Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio se debe conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno.

La cola, propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio.

El sistema de la cola: es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Estos elementos pueden verse más claramente en la siguiente figura:

Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor.

DISCIPLINA DE LA COLA

La disciplina de colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera dentro de un sistema. Esta teoría estudia factores como el tiempo de espera medio en las colas o la capacidad de trabajo del sistema sin que llegue a colapsarse. Dentro de las matemáticas, la teoría de colas se engloba en la investigación de operaciones y es un complemento muy importante a la teoría de sistemas y la teoría de control. Se trata así de una teoría que encuentra aplicación en una amplia variedad de situaciones tomando en cuenta los siguientes ejemplos como negocios, comercio, industria, ingenierías, transporte y logística o también las telecomunicaciones.

En el caso concreto de la ingeniería, la teoría de colas permite modelar sistemas en los que varios agentes que demandan cierto servicio o prestación, confluyen en un mismo servidor y, por lo tanto, pueden registrarse esperas desde que un agente llega al sistema y el servidor atiende sus demandas. En este sentido, la teoría es muy útil para modelar procesos tales como la llegada de datos a una cola en ciencias de la computación, la congestión de red de computadoras o de telecomunicación, o la implementación de una cadena productiva en la ingeniería industrial.

En el contexto de la informática y de las tecnologías de la información y la comunicación las situaciones de espera dentro de una red son más frecuentes. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para su ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos; la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a la congestión en la red; también se puede recibir la señal de línea de la que depende nuestro teléfono móvil ocupada si la central está colapsada en ese momento, etc.

Diagrama que muestra dos colas y múltiples modos servidores. La teoría de colas estudia los tiempos de espera y capacidad del sistema.

MECANISMOS DE SERVICIO

Se llama capacidad del servicio al número de clientes que pueden ser servidos simultáneamente. Si la capacidad es uno, se dice que hay un solo servidor (o que el sistema es mono canal) y si hay más de un servidor, multicanal. El tiempo que el servidor necesita para atender la demanda de un cliente (tiempo de servicio) puede ser constante o aleatorio; en este último caso se supone, por lo general, que los tiempos de servicio son vv.aa.ii.ii.dd. Además, que son independientes de los tiempos entre llegadas. A veces el servidor sólo está disponible durante una parte del tiempo de funcionamiento del sistema.

ESTRUCTURAS TÍPICA

El primer sistema que se muestra en la figura, se llama un sistema de un servidor y una cola. El segundo, una línea con múltiples servidores. El tercer sistema, aquél en que cada servidor tiene una línea de separación. El cuarto sistema, es una línea con servidores en serie. Este modelo puede aplicarse a trabajos ordenador que esperan tiempo de procesador.

Una cola se produce cuando la demanda de un servicio por parte de los clientes excede la capacidad del servicio.

• Se necesita conocer (predecir) el ritmo de entrada de los clientes y el tiempo de servicio con cada cliente.
• La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares

Objetivo:

• Equilibrar los costos de capacidad del servicio y el “costo” de una espera larga.

Ejercicio de teoria de inventarios.

Teoria de inventarios

Se define un inventario como la acumulación de materiales que posteriormente serán usados para satisfacer una demanda futura.
El inventario da servicio a varias funciones que agregan flexibilidad a las operaciones de la empresa. Las cuatro funciones del inventario son:

• Desarticular o separar varias partes del proceso de producción. Por ejemplo, si las existencias de una empresa fluctúan, quizá sea necesario un inventario adicional para desarticular los procesos de producción de los proveedores.

• Separar a la empresa de las fluctuaciones en la demanda y proporcionar un inventario de bienes que ofrezca variedad a los clientes. Este tipo de inventarios son típicos de las tiendas.

• Aprovechar los descuentos por cantidad, ya que las compras en grandes cantidades disminuyen el costo de los bienes y su entrega.

• Protegerse contra la inflación y el aumento de precios.

Fundamentalmente, en una empresa existen los siguientes tipos de inventarios:

• Materias primas: Compuesto por los elementos simples y elementales que requieren cierto grado de transformación antes de que se les pueda considerar como un producto.

• Productos semielaborados: Artículos manufacturados que se incorporan en un artículo mayor para constituir el producto final; también se conocen como componentes.

• Empaquetado: Artículos que se utilizan para empaquetar los productos terminados antes de su venta; también se incluyen los artículos que se destinan al empaquetado de producción, tanto como proceder a su venta como para preservar mejor los materiales durante el periodo que permanezcan en inventario.

• Consumibles: Son bienes que no se incorporan en el producto terminado, pero que, de una manera u otra, son necesarios para su elaboración.

• Productos terminados: Artículos completos, funcionando y listos para su venta.

El control de inventarios desempeña varias funciones importantes, además de que aporta una gran flexibilidad a la operación de una empresa. Considere las cinco siguientes ventajas de usar inventarios:

• Función de desacoplamiento.

• Almacenamiento de recursos.

• Hacer frente a una oferta y demanda irregulares.

• Descuentos por cantidad.

• Evitar faltantes y escases.

Función de desacoplamientoUna de las funciones principales del inventario consiste en desacoplar los procesos de manufactura de la organización. Si no se almacenara inventario, podrían ocurrir muchos retrasos e ineficiencias. Por ejemplo, cuando una actividad de manufactura debe quedar terminada antes de comenzar la siguiente, un retraso en la primera podría detener el desarrollo de todo el proceso. Sin embargo, cuando se cuenta con existencias almacenadas entre un proceso y otro, el inventario actúa como un colchón.
Almacenamiento de recursosHay temporadas específicas donde deben cosecharse los productos agrícolas o atraparse los productos del mar, aunque la demanda de ambos se mantenga relativamente constante durante el año. En estos y en muchos otros casos similares pueden utilizarse los inventarios para almacenar los recursos.
Durante el proceso de manufactura, las materias primas pueden almacenarse como tales, o bien como parte del trabajo en proceso o como productos terminados.
Oferta y demanda irregularCuando la oferta o demanda de un artículo de inventario es irregular, almacenar cierta cantidad de dicho artículo en el inventario se convierte en una cuestión importante. Si la mayor demanda de la debida Diet-Delight se presenta, digamos, durante el verano, es necesario asegurarse de contar con suficiente existencia de la misma para cubrir esta demanda irregular. Para ello Habría que producir más bebida durante el invierno de la que realmente se necesita para poder satisfacer la demanda en ese periodo. Los niveles de inventario de Diet-Delight se acumularían gradualmente durante el invierno, aunque este inventario fuera a utilizarse en el verano para la oferta irregular.
Descuentos por cantidadOtra aplicación del inventario es el aprovechamiento de los descuentos por cantidad. Muchos proveedores ofrecen descuentos cuando se les hacen pedidos cuantiosos. Por ejemplo una sierra eléctrica tiene un costo normal de $20 por unidad. Si se piden 300 o más en una sola orden, el proveedor podría bajar el costo a $18.75. Comprar en grandes cantidades puede reducir en forma considerable el precio de los productos. Sin embargo, existen ciertas desventajas cuando se compra de esta manera. Los costos de almacenamiento son más altos, lo mismo que los costos relacionados con el deterioro, el daño de las existencias, el robo, los seguros y otros gastos parecidos. Además, cuando se invierte en más inventario, se cuenta con menos efectivo para invertir en otras áreas.
Evitar faltantes y escasesOtra función importante del inventario es evitar la escasez o los faltantes de existencia. Si sus clientes encuentran en repetidas ocasiones que usted tiene un faltante de existencias, lo más probable es que busquen satisfacer sus necesidades en otro lado. Perder la confianza de los clientes es un precio muy alto por no tener el artículo adecuado en el momento indicado.
Costo de fabricar un pedidoTodos los materiales que son utilizados en un proceso de producción, se compran o fabrican por ese mismo proceso. Si el inventario es comprado, el costo de hacer un pedido de compra se calcula como el promedio de todos los gastos anuales en que se incurre, debido al abastecimiento de los materiales.
Estos gastos se originan por que se deben confeccionar órdenes de compra, así como las requisiciones de los materiales. Una vez que el pedido se recibe, también debe de inspeccionarse, para determinar si cumple con las especificaciones de calidad pedidas, y si la cantidad de los materiales entregados también coinciden con las cantidades pedidas.
Si el inventario se produce, entonces el costo de ordenar la producción se calcula como el promedio de todos los gastos en que se incurre debido al papeleo y la programación que hay que hacer para arrancar con la producción. Esta programación incluye la asignación de recursos humanos y de maquinaria para producir estos inventarios.
Costo de mantenimiento de los inventariosEstos costos se generan en función de las cantidades o volúmenes de los inventarios que se mantienen almacenados costo que proviene de varios rubros que se mencionan a continuación.

• Costo de inmovilización de capital:

Una vez que el capital ha sido invertido en los inventarios, ya no puede dedicarse para otros fines. Así por ejemplo: se podría pensar que en vez de invertir el dinero en el inventario, se podría destinar a un bono a plazo fijo en un banco, que pagaría una tasa anual de intereses de al menos 20%. Al invertir este dinero en el inventario, por este concepto ya no se recibe interés, por lo que este dinero se convierte en un costo real para el sistema de inventarios.

• Costo por seguros:

Generalmente los inventarios están protegidos por seguros contra robos, incendios, deterioro de los materiales, etc. Las primeras que se pagan por estos seguros forman parte de los costos del mantenimiento de esos inventarios.

• Costos por almacenamiento:

Todos los materiales que se almacenan, sean estos productos terminados, en proceso, o bien materias primas, necesitan un espacio de almacenamiento, Aun cuando los almacenes sean propios, se alquila este espacio, entonces se obtendría algún beneficio económico. De ahí, que el costo por espacio físico ocupado se convierte en un costo de oportunidad por almacenamiento.

• Costo por obsolescencia:

Siempre existe un riesgo que los materiales almacenan se vuelven obsoletos, quizás debido a factores tales como: la moda, los avances tecnológicos, la antigüedad, o pérdida de las especificaciones de calidad de los materiales. Por estas razones, debe de contemplarse un porcentaje del costo de mantenimiento de los inventarios por este concepto.

• Costo por mantenimiento de las instalaciones, equipos de acarreo de materiales e impuestos:

Estos costos deben de sumarse al costo de mantenimiento del inventario, pues al hacer uso de edificios e instalaciones, se hace necesario darles mantenimiento, pagar impuestos y además pagar equipo de manejo de materiales, al cual también debe dársele mantenimiento.

Costo por faltantes o pedidos pendientes por demandas no satisfechasEn muchas empresas existe la política de trabajar con pedidos pendientes, es decir, el usuario de una determinada mercancía hace un pedido, pero en ese momento no hay en inventario. Sin embargo, el usuario se espera hasta que esté disponible ese inventario.
Algunos usuarios deciden no esperar por el inventario, y se van a buscarlo a la competencia. Cuando esta situación ocurre, se incurre en un costo por ventas perdidas. Si el usuario se pierde por no tener inventario disponible para surtir el pedido, se dejó de percibir una utilidad por unidad demandada. Esta utilidad perdida se convierte en un costo por faltante, y se expresa en colones por unidad.
Si el usuario se espera también se incurre en un costo por faltante, pero solo por el tiempo que se espera esa mercancía. Este costo esta expresado en colones por unidad demandada por unidad de tiempo.
Costo por sobrantesCuando una mercancía se mantiene en inventario, en cantidades excesivas, este material obviamente no tiene salida. Entonces, todo lo que ha costado mantener este inventario se penaliza como un costo por sobrantes.
Costo de salvamentoExisten algunos inventarios que tienen valor solo en un periodo o temporada del año. Tal es el caso de los periodos de circulación nacional e internacional, los cuales solo tienen valor el día para el cual se producen. Al día siguiente, estos periódicos los compran algunos locales comerciales, pues les sirven de envoltura.
La misma situación pasa con los arboles de pino que se venden en épocas de navidad. Pasada esa temporada, ya no tienen valor comercial.
El valor de recuperación de esos inventarios, pasado su periodo de vida útil se conoce como valor de salvamento de los inventarios.
Elementos de un modelo de inventario

• Demanda

• Previsión de la demanda.

• Costos de los Inventarios.

• Costo de almacenamiento.

• Costos de lanzamiento del pedido.

• Suministros.

Modelos de inventarioModelos determinísticos: En los modelos determinísticos, las buenas decisiones se basan en sus buenos resultados. Se consigue lo deseado de manera "determinística", es decir, libre de riesgo. Esto depende de la influencia que puedan tener los factores no controlables, en la determinación de los resultados de una decisión y también en la cantidad de información que el tomador de decisión tiene para controlar dichos factores. (Gallagher, 1990).

• Modelo del tamaño del lote económico óptico (EOQ) Económic Order Quantity sin agotamiento

• Modelo del tamaño del lote económico óptico (EOQ) Económic Order Quantity con agotamiento.

• Modelo de Período Fijo de Reorden.

• Modelo de período fijo de reorden.

• Modelo cantidad fija de reorden.

Modelos probabilísticas: Todos los modelos antes mencionados mantienen la existencia de una demanda y tipo de suministros perfectamente conocidos. En la mayoría de los casos esta no es una situación realista. La demanda no suele estar tan predeterminada, sino que aunque puedan conocerse sus valores medios lo que normal es que finalmente no coincida con exactitud con lo que normalmente ocurre. Modelo de Cantidad Fija de Reorden cuando no se conoce el costo por faltante.

2º ejercicio de programación no lineal

                                                          Ejercicio resuelto en clases

Programación no lineal ejercicio de Maximización de volumen

Ejercicio resuelto en clases

PROGRAMACIÓN NO LINEAL

PROGRAMACION NO LINEAL

En matemáticas, programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con un función objetivo a maximizar (o minimizar), cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales.

La Programación no Lineal (PNL) es una parte de la Investigación Operativa cuya misión es proporcionar una serie de resultados y técnicas tendentes a la determinación de puntos óptimos para una función (función objetivo) en un determinado conjunto (conjunto de oportunidades), donde tanto la función objetivo, como las que intervienen en las restricciones que determinan el conjunto de oportunidades pueden ser no lineales.

Evidentemente, la estructura del problema puede ser muy variada, según las funciones que en él intervengan (a diferencia de la Programación Lineal (PL) donde la forma especial del conjunto de oportunidades y de la función objetivo permiten obtener resultados generales sobre las posibles soluciones y facilitan los tratamientos algorítmicos de los problemas).

 Ello ocasiona una mayor dificultad en la obtención de resultados, que se refleja también en la dificultad de la obtención numérica de las soluciones. En este sentido, hay que distinguir entre las diversas caracterizaciones de óptimo, que sólo se emplean como técnicas de resolución en problemas sencillos, y los métodos numéricos iterativos, cuyo funcionamiento se basa en estas caracterizaciones, para la resolución de problemas más generales.

CONCEPTOS BÁSICOS

La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.

Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.

Función objetivo

En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables:

f(x,y) = ax + by.

Restricciones

La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:

	a1x + b1y ≤ c1
	a2x + b2y ≤c2
	…    …    …
	anx + bny ≤cn

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

Solución factible

El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.

Solución óptima

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso).

Valor del programa lineal

El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.

PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL

1. Elegir las incógnitas.

2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.

3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.

5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).

6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado).